Выпуск 128
2024
Изучается асимптотическое поведение оптимального граничного управления $v_\ee$ и решения $u_\ee$ параболической задачи в области $\Omega_\ee\subset \mathbb{R}^n$, $n\ge 3$, $\ee$-периодически перфорированной малыми шарами вдоль части этой границы при $\ee\to0$. На границе включения накладывается динамическое условие
с коэффициентом большого роста при производной по времени. Устанавливается критическое соотношение между периодом структуры, диаметром шаров, и коэффициентом роста, которое приводит к появлению ``странного'' члена, заданного некоторым обыкновенным дифференциальным уравнением. Мы устанавливаем слабую сходимость оптимального управления к оптимальному управлению, ассоциированному с предельным ценовым функционалом, содержащим новый ``странный'' член. Библиография: 18 назв. Иллюстрации: 1 рис.
Литература
1. I. Díaz, D. Gómez-Castro, and T. A. Shaposhnikova, Nonlinear Reaction-Diffusion Processes for Nanocomposites. Anomalous Improved Homogenization, De Gruyter, Berlin (2021).
2. D. Cioranescu and F. Murat, A strange term coming from nowhere, In: Topics in the Mathematical Modelling of Composite Materials, pp. 45–93, Birkhäuser, Boston, MA (1997).
3. M. N. Zubova and T. A. Shaposhnikova, “Homogenization of boundary value problems in perforated domains with the third boundary condition and resulting change in the character of the nonlinearity in the problem,” Differ. Equ. 47, No. 1, 78–90 (2011).
4. S. Kaizu, “The Poisson equation with semilinear boundary conditions in domains with many tiny holes,” J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. IA 36, 43–86 (1989).
5. J. I. Diaz, D. Gomez-Castro, T. A. Shaposhnikova, and M. N. Zubova, “A nonlocal memory strange term arising in the critical scale homogenization of diffusion equation with a dynamic boundary condition,” Electron. J. Differ. Equ. 2019, Paper No. 77 (2019).
6. M. N. Zubova and T. A. Shaposhnikova, “Homogenization limit for the diffusion equation in a domain perforated along (n-1)-dimensional manifold with dynamic conditions on the boundary of the perforations: critical case,” Dokl. Math. 99, No. 3, 245–251 (2019).
7. J. I. Díaz, D. Gómez-Castro, T. A. Shaposhnikova, and M. N. Zubova, “A time-dependent strange term arising in homogenization of an elliptic problem with rapidly alternating neumann and dynamic boundary conditions specified at the domain boundary: The critical case,” Dokl. Math. 101, No. 2, 96–101 (2020).
8. M. Anguiano, “Homogenization of parabolic problems with dynamical boundary conditions of reactive-diffusive type in perforated media,” J. Appl. Math. Mech. 100, No. 10, Article ID e202000088 (2020).
9. C. Timofte, “Parabolic problems with dynamical boundary conditions in perforated media,” Math. Model. Anal. 8, No. 4, 337–350 (2003).
10. J. I. Díaz, A. V. Podolskiy, and T. A. Shaposhnikova, “On the convergence of controls and cost functionals in some optimal control heterogeneous problems when the homogenization process gives rise to some strange terms,” J. Math. Anal. Appl. 506, No. 1, Articlel ID 125559 (2022).
11.
J. I. Díaz, A. V. Podolskiy, and T. A. Shaposhnikova, “On the homogenization of an optimal control problem in a domain perforated by holes of critical size and arbitrary shape,” Dokl. Math. 105, No. 1, 6–13 (2022).
12. J. I. Díaz, A. V. Podol’skii, and T. A. Shaposhnikova, “Boundary control and homogenization: optimal climatization through smart double skin boundaries,” Differ. Integral Equ. 35, No. 3/4, 191–210 (2022).
13. A. V. Podolskiy and T. A. Shaposhnikova, “Optimal control and ”strange” term arising from homogenization of the Poisson equation in the perforated domain with the Robin-type boundary condition in the critical case,” Dokl. Math. 102, No. 3, 497–501 (2020).
14. T. A. Shaposhnikova and A. V. Podolskiy, “Homogenization of the optimal control problem for the Dirichlet cost functional and the Poisson state problem with rapidly alternating boundary conditions in critical case,” Rev. R. Acad. Cienc. Exactas, Fís. Nat., Ser. A. Mat. 116, No. 4, Paper No. 174 (2022).
15. J. Saint Jean Paulin and H. Zoubairi, “Optimal control and “strange term ” for a Stokes problem in perforated domains,” Port. Math. 59, No. 2, 161–178 (2002).
16. A. V. Fursikov, Optimal Control of Distributed Systems: Theory and Applications, Am. Math. Soc., Providence, RI (2000).
17. J. L. Lions. Controle optimal de systemes gouvernés par des equations aux derivées particlles, Dunod, Paris (1968).
18. D. Gómez, M. Lobo, M. E. Pérez-Martínez, T. A. Shaposhnikova, and M. N. Zubova, “On critical parameters in homogenization of perforated domains by thin tubes with nonlinear flux and related spectral problems,” Math. Methods Appl. Sci. 38, No. 12, 2606–2629 (2014).
Статья поступила в редакцию 25 сентября 2024 г.
Информация об авторах:
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
А. В. Подольский, Т. А. Шапошникова
Для переписки:
Дополнительная информация:
Английский перевод издан в Journal of Mathematical Sciences в 2024 г.
Podolskiy, A.V., Shaposhnikova, T.A. Homogenization of Boundary Optimal Control of the Parabolic Problem with Dynamic Boundary Condition Specified on Double Skin Boundaries. J Math Sci 286, 248–268 (2024). https://doi.org/10.1007/s10958-024-07502-5
Цитирование статьи:
А. В. Подольский, Т. А. Шапошникова, ``Усреднение граничного оптимального управления в параболической задаче с динамическим граничным условием '', Пробл. мат. анал. 128, 69-86 (2024); English translation: Podolskiy, A.V., Shaposhnikova, T.A. ёёHomogenization of Boundary Optimal Control of the Parabolic Problem with Dynamic Boundary Condition Specified on Double Skin Boundaries,'' J. Math. Sci. 286, No. 2, 248-268 (2024).
Полный текст статьи - по запросу