СИРИУС.  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  ЖУРНАЛ

 Том  1   No.   1   2024 

 

к содержанию СМЖ-1-1

 

Вычисление значений дзета–функции Римана через значения ее производных в одной точке

 

    Ю. В. Матиясевич

 

    Исследуются следующие два вопроса. Пусть заданы значения нескольких первых про изводных дзета–функции Римана в некоторой (неизвестной нам) точке a.

• Как найти приближенное значение дзета–функции в этой точке без предваритель ного нахождения самого числа?
• Как найти приближенное значение числа a?

Мы предлагаем несколько алгоритмов, которые дают ответы на эти вопросы. Точ ность алгоритмов демонстрируется численными примерами. Предложенные алгорит мы выявляют новые свойства дзета–функции.

 

Литература

 

1. L. Euler, “Remarques sur un beau rapport entre les s´ eries des puissances tant directes que r´ eciproques”, M´ em. Acad. Sci. Berlin 17, 83–106 (1768). https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/352

 

2. B. Riemann, “Ueber die Anzhal der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse”, Monatsberichter Berl. Akad. (1859). http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/EZeta.pdf

 

3. H. von Mangoldt, “Zu Riemann’s Abhandlung ‘Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse”’, J. f¨ ur Math. 114, 255–305 (1895). DOI 10.1515/crll.1895.114.255

 

4. G. Beliakov, Yu. Matiyasevich, “Approximation of Riemann’s zeta function by finite Dirichlet series: A multiprecision numerical approach”, Exp. Math. 24, No. 2, 150–161 (2015). DOI 10.1080/10586458.2014.976801

 

5. Ю. В. Матиясевич, “Дзета-функция Римана и конечные ряды Дирихле” Алгебра анал. 27, No. 6, 174–198 (2015); Англ. перевод: St. Petersbg. Math. J. 27, No. 6, 985–1002 (2016). DOI 10.1090/spmj/1431

 

6. K. Broughan, Equivalents of the Riemann Hypothesis. Volume 1: Arithmetic Equivalents, Cambridge University Press, Cambridge (2017).

 

7. D. Platt, T. Trudgian, “The Riemann hypothesis is true up to 3 · 1012”, Bull. Lond. Math. Soc. 53, No. 3, 792–797 (2021). DOI 10.1112/blms.12460

 

8. P. Borwein, “An efficient algorithm for the Riemann zeta function”, In: Constructive, Experimental, and Nonlinear Analysis, pp. 29–34, Am. Math. Soc., Providence, RI (2000).

 

9. I. Belovas, “A local limit theorem for coefficients of modified Borwein’s method”, Glas. Mat., Ser. III 54 No. 1, 1–9 (2019). DOI 10.3336/gm.54.1.01

 

Статья поступила в редакцию 12 апреля 2024 г.

 

Информация об авторах:

Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Санкт-Петер бург, Россия

Ю. В. Матиясевич

 

 

Дополнительная информация:

Статья была в оригинале опубликована на английском языке J. Math. Sci. 275, No. 1, 25–37 (2023).

Русский вариант включает дополнения автора.

 

Цитирование статьи:

Ю. В. Матиясевич, “Вычисление значений дзета–функции Римана через значения ее производных в одной точке”, Сириус. Мат. журн. 1, No. 1, 86–96 (2024).

 

Полный текст статьи

PDF

 

 

 

к содержанию СМЖ-1-1