Том 1 No. 1 2024
Мы рассмотрим некоторые аспекты теории вычислимых структур, которые демон стрируют выразительную силу бесконечных предложений при описании математиче ских структур и классов структур. Наш обзор включает как классические результаты такие, как теорема Скотта об изоморфизме, теорема Лопеза — Эскобара, а также результаты Фридмана и Стенли о сравнении классов структур на основании сложно сти их инвариантов, так и недавно полученные результаты для абелевых групп без кручения.
Литература
1. D. Scott, “Logic with denumerably long formulas and finite strings of quantifiers”, In: The Theory of Models. Proc. 1963 Int. Symp. Berkeley, pp. 329-341, North-Holland, Amsterdam (1965).
2. C. J. Ash, J. F. Knight, Computable Structures and the Hyperarithmetical Hierarchy, Elsevier, Amsterdam (2000).
3. A. Montalb´an, Computable Structure Theory, Part II: Beyond the Arithmetic [Submitted for publication in 2022].
4. M. Vanden Boom, “The effective Borel hierarchy”, Fundam. Math. 195, No. 3, 269–289 (2007).
5. E. G. K. Lopez-Escobar, “An interpolation theorem for denumerably long formulas”, Fundam. Math. 57, 253–272 (1965).
6. R. L. Vaught, “Invariant sets in topology and logic”, Fundam. Math. 82, 269–294 (1974).
7. H. Friedman, L. Stanley, “A Borel reducibility theory for classes of countable structures”, J. Symb. Log. 54, No. 3, 894–914 (1989).
8. И. А. Лавров, “Эффективная неотделимость множества тождественно истинных и множества конечно-опровержимых формул для некоторых элементарных теорий”, Алгебра лог. 2,No.1, 5–18 (1963).
9. A. Mekler, “Stability of nilpotent groups of class 2 and prime exponent”, J. Symb. Log. 46, 781–788 (1981).
10. D. Marker, Model Theory: An Introduction, Springer, New York, NY (2002).
11. A. Nies, “Undecidable fragments of elementary theories”, Algebra Univers. 35, No. 1, 8–33 (1996).
12. R. Camerlo, S. Gao, “The completeness of the isomorphism relation for countable Boolean algebras”, Trans. Am. Math. Soc. 353, No. 2, 491–518 (2001).
13. R. Miller, B. Poonen, H. Schoutens, A. Shlapentokh, “A computable functor from graphs to fields”, J. Symb. Log. 83, No. 1, 326–348 (2018).
14. А. И. Мальцев, “Об одном соответствии между кольцами и группами”, Мат. сб. 50, 257–266 (1960); English transl.: Am. Math. Soc., Transl., II 45, 221–231 (1965).
15. R. Alvir et al., “Interpreting a field in its Heisenberg group”, J. Symb. Log. 87, No. 3, 1215–1230 (2022).
16. J. F. Knight, A. Soskova, S. Vatev, “Coding in graphs and linear orderings”, J. Symb. Log. 85, No. 2, 673–690 (2020).
17. M. Harrison-Trainor, A. Montalb´an, “Thetreeof tuplesofastructure,”J. Symb. Log. 87,No.1, 21–46 (2022).
18. У. Калверт, Д. Камминс, Д. Ф. Найт, C. Миллер, “Сравнение классов конечных структур”, Алгебра лог. 43, No. 6, 666–701 (2004); English translation: Algebra Logic 43, No. 6, 374–392 (2004).
19. J. F. Knight, S. Miller (Quinn), M. Vanden Boom, “Turing computable embeddings”, J. Symb. Log. 72, No. 3, 901–918 (2007).
20. R. Baer, “Abelian groups without elements of finite order”, Duke Math. J. 3, 68–122 (1937).
21. G. Hjorth, “Around non-classifiability for countable torsion-free Abelian groups”, In: Abelian Groups and Modules, pp. 269–292., Birkh¨auser, Basel (1999).
22. S. Thomas, “The classification problem for torsion-free Abelian groups of finite rank”, J. Am. Math. Soc. 16, No. 1, 233–258 (2003).
23. A. G. Kurosh, “Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range” [in German], Ann. Math. 38, 175–203 (1937).
24. L. Fuchs, Infinite Abelian Groups. Vol. II, Academic Press, New York etc. (1973).
25. S. Thomas, B. Velickovic, “On the complexity of the isomorphism relation for fields of finite transcendence degree”, J. Pure Appl. Algebra 159, No. 2-3, 347–363 (2001).
Статья поступила в редакцию 12 апреля 2024 г.
Информация об авторах:
Нотрдамский университет
Нотр Дам, США
Дж. Найт
Для переписки:
Финансовая поддержка:
Исследование частично поддержано грантом NSF (No. 1800692).
Дополнительная информация:
Статья была в оригинале опубликована на английском языке J. Math. Sci. 275, No. 1, 16–24 (2023).
Цитирование статьи:
Дж. Найт, “Классы алгебраических структур”, Сириус. Мат. журн. 1, No. 1, 97–104 (2024).
Полный текст статьи